一道日本高中数学竞赛题：解对数指数综合方程，正确率不到2％

大家好！今天和大家分享一道日本高中数学竞赛题。题目是解一道指数与对数的综合方程，据说正确率不到2％。

下面我们一起来看一下这道难住众多考生的题目(题目见下图)。

指数与对数是高中数学的两个重要知识点，相比于指数来说，不少同学觉得对数更难学。因为指数在初中阶段就已经开始学习了，高中阶段仅仅是将指数的范围进行了拓展，但是计算的法则还是一样。对数则是高中新接触的知识点，需要从零开始学习，难度就会显得稍大一些。

接下来我们先来看一个非常简单的对数方程：lgx+lg(x+3)=1。

这个对数方程非常简单，只需要按照对数的计算法则进行计算即可。本题用到的是同底数的对数相加的计算公式，即底数相同的两个对数相加，底数不变真数相乘，所以lgx+lg(x+3)=lg[x(x+3)]=1=lg10，故x(x+3)=10。过程见下图：

在解对数方程时，比较容易忽略的一点就是每个对数中真数必须为正数，如上题中x＞0，x+3＞0，否则解出的答案范围将会扩大。

下面再来看一道难度更大的对数方程：底数不相同的对数方程，题目如下。

在解底数不相同的对数方程时，一般思路是利用对数的运算性质化为底数相同的对数再进行计算。

比如本题中，两个对数的底数分别为2和4，那么就要先把底数化成相同的数。如果都把底数化为2，那么需要在以4为底的对数之前乘以二分之一，这个二分之一又可以转换成真数的指数；如果都把底数都化为4，那么需要在以2为底的对数前乘以2，同样将2转换为真数的指数再计算，如下图。

上面这道对数方程的题目，虽然底数不同，但是两个底数之间存在幂的关系，所以可以转化为底数相同的对数计算。

下面回到这道竞赛题。

本题中两个对数的底数不相同，而且也没有明显的幂的关系，所以不能化为同底数的对数再进行计算，那么究竟怎么计算呢？

令这两个对数的值为a，则有3^x+4^x=5^a，5^x-3^x=4^a，两式相加即可得到4^x+5^x=4^a+5^a。再根据指数函数的单调性可以得到a=x，然后代入上面两个式子中的任何一个就可以得到3^x+4^x=5^x，很明显可以看出x=2是一个。

但是这个方程还有没有其他解呢？也就是还需要进一步证明解的唯一性。3^x+4^x=5^x的两边同时除以4^x，那么就可以利用单调性证明其唯一性。

有网友表示，一看题目中的数据为3、4、5，很容易想到勾股数，所以可以猜出答案为x=2。但是过程怎么写？还有怎么证明解的唯一性呢？所以还是得按照上面的解法求解，你还有什么方法吗？